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有一些工程數學上的問題

1. y" – 9y =0 => D^2-9=0

y1=e^-3x => D+3

=> (D+3)(D-3)/(D+3)=D-3=0

=> D=3, y2=e^3x

W=|y1 .y2.|
..|y1′ y2′|

=|..e^(-3x) .e^3x|
.|-3e^(-3x) 3e^3x|

=3+3

=9

=\=0

=> y1,y2線形獨立

齊次方程式的齊次解=通解

y(x)=a*e^3x+b*e^(-3x)

2. y" + 2y’ + y = 0 => D^2+2D+1=0

y1=xe^(-x) => D+1

=> (D+1)^2/(D+1)=D+1

=> y2=e^(-x)

w=|xe^(-x) …..e^(-x)|
..|e^(-x)(1-x) -e^(-x)|

=e^(-2x)*(-x-1+x)

=-e^(-2x)

=\=0

=> y1,y2線形獨立

齊次方程式的齊次解=通解

y(x)=(a+bx)*e^(-x)

3. y" + 9y = 0 => D^2+9=0

y1=sin3x=e^(3jx) => D-3j

=> (D+3j)(D-3j)/(D-3j)=(D+3j)

=> y2=e^(-3j)=cos(-3x)=cos3x

w=|.sin3x ..cos3x|
..|3cos3x -3sin3x|

=-9[sin^2(3x)+cos^2(3x)]

=-9

=\=0

=> y1,y2線形獨立

齊次解=通解

y(x)=a*e^3jx+b*e^(-3jx)

=a(cos3x-jsin3x)+b(cos3x+sin3x)

=(a+b)cos3x+j(a-b)sin(3x)

=c1*cos3x+c2*sin3x


4. y" – 6y’ + 9y = 0 => D^2-6D+9=0

y1(x) = e^3x => D-3

=> (D-3)^2/(D-3)=D-3

=> y2=x*e^3x

w=|.e^3x ….xe^3x.|
..|3e^3x (1+3x)e^3x|

=e^6x*(1+3x-3x)

=e^(6x)

=\=0

=y1,y2線形獨立

齊次解=通解

y(x)=(a+bx)*e^3x

5.已知y1(x)=x^3 => m-3

x^2y" – 5xy + 9y = 0 => m(m-1)-5m+9=m^2-6m+9

=> (m-3)^2/(m-3)=m-3

y2=x^3*ln(x)

w=|.x^3 ….x^3*ln(x)|
..|3x^2 [1+3ln(x)]x^2|

=[1+3*ln(x)-3*ln(x)]*x^5

=x^5

=\=0

=> y1,y2線形獨立

齊次解=通解

y(x)=[a+b*ln(x)]*x^3


 


1x1.trans 有一些工程數學上的問題
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