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多項式 f(x)除以 x^2-x+1….

f(x) 除以 x³ + 1 之商式為 Q(x),餘式為 ax² + bx + c

f(x) ÷ (x³ + 1) = Q(x) …… ax² + bx + c
f(x) = (x³ + 1)Q(x) + (ax² + bx + c)
f(x) = (x + 1)(x² – x + 1)Q(x) + (ax² + bx + c)

x² – x + 1 (x + 1)(x²- x + 1)Q(x) 的因式。
故此 f(x) 除以 x² – x + 1 的餘式 = ax² + bx + c 除以 x² – x + 1 的餘式
(ax² + bx + c) – a(x² – x + 1) = 3x + 7
(b + a)x + (c – a) = 3x + 7
b + a = 3
c – a = 7

b = 3 – a …… [1]
c = a + 7 …… [2]

f(x) 除以 x + 1 的餘式 = f(-1)
0 + a(-1)² + b(-1) + c = 10
a – b + c = 10 …… [3]

[1] [2] 代入 [3] 中:
a – (3 – a) + (a + 7) = 10
3a = 6
a = 2

a = 2 代入 [1] 中:
b = 3 – (2)
b = 1

a = 2 代入 [2] 中:
c = (2) + 7
c = 9

所求的餘式 = 2x² + x + 9

參考資料 wanszeto

1x1.trans 多項式 f(x)除以 x^2 x+1....
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